ДОМ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

1.3. Системы счисления

Чтобы обеспечить соответствующую основу для изучения структур данных следует обсудить существующие типы систем счислений: позиционные и непозиционные.

1.3.1. Непозиционные системы счисления

Числа используются для символического представления количества объектов. Очень простым методом представления количества является использование одинаковых значков. В такой системе между значками и пересчитываемыми объектами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Например, шесть объектов могут быть представлены как ****** или 111111. Такая система становится очень неудобной, если попытаться с ее помощью представить большие количества.

Системы счисления, подобные римской, обеспечивают частичное решение проблемы представления большого количества объектов. В римской системе дополнительные символы служат для представления групп значков. Например, можно принять что I=*, Y=IIIII, X=YY, L=XXXXX и т.д. Заданная величина представляется с помощью комбинирования символов в соответствии с рядом правил, которые в некоторой степени зависят от положения символа в числе. Недостатком системы, которая с самого начала основывается на группировании некоторого множества символов с целью формирования нового символа, является то обстоятельство, что для представления очень больших количеств требуется очень много уникальных символов.

1.3.2. Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления используется конечное число R уникальных символов. Величину R часто называют основанием системы счисления. В позиционной системе количество представляется как самими символами, так и их позицией в записи числа.

Система счисления с основанием десять, или десятичная система является позиционной. Рассмотрим, например, число 1303. Его можно представить в виде:

       1*10^3 + 3*10^2 + 0*10^1 + 3*10^0.

(Здесь и далее символ ^ используется как знак операции возведения в степень).

В позиционной системе могут быть представлены и дробные числа. Например, одна четвертая записывается в виде 0.25, что интерпретируется как:

       2*10^(-1) + 5*10^(-2).

Другой пример позиционной системы счисления - двоичная система. Двоичное число 11001.101 представляет то же самое количество, что и десятичное число 26.625. Разложение данного двоичного числа в соответствии с его позиционным представлением следующее:

       1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(-1) + 0*2^(-2) + 1*2^(-3) =
       16 + 8 + 1 + 0.5 + 0.125=26.625.

Наиболее часто встречаются системы счисления имеющие основание 2,8,10 и 16, которые обычно называют двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами, соответственно. Вся вычислительная техника работает в двоичной системе счисления, так как базовые элементы вычислительной техники имеют два устойчивых состояния. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы используются для удобства работы с большими двоичными числами.

1.3.3. Изображение чисел в позиционной системе счисления

Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием R (R >1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени m основания R на полином от этого основания :

                               n
                  Ar = R^m * СУММА (a[i]*R^(-i)) ,          (1.1)
                              i=1
      

где:

• a[i] { 0,1,..., R-1 } - цифры R-ичной системы счисления ;
• n - количество разрядов (разрядность), используемых для представления числа;
• R - основание системы счисления;
• m {..., -2, -1, 0,+1,+2,...} - порядок числа;
• R^(-i) - позиционный вес i - того разряда числа.

Так, в десятичной (R=10) системе для представления чисел используются цифры a = {0,1,...9}; в двоичной (R=2) - a = {0,1}, в шестнадцатеричной (R=16), a = {0,1....9,A,B,C,D,E,F} где прописные латинские буквы A..F эквивалентны соответственно числам 10..15 в десятичной системе. Например,

1) 815=10^3*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10(-3))=8*10^2+1*10^1+5*10^0;
2) 8.15=10^1*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10^(-3))=8*10^0+1*10^(-1)+5*10^(-2); 
3) 0.0815= 10^(-1)*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10^(-3))=
   =8*10^(-2)+1*10^(-3)+5*10^(-4);

1.3.4. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

При переводе целого числа (целой части числа) из одной системы счисления в другую исходное число (или целую часть) надо разделить на основание системы счисления, в которую выполняется перевод. Деление выполнять, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат перевода определяется остатками от деления: первый остаток дает младшую цифру результирующего числа, последнее частное от деления дает старшую цифру.

При переводе правильной дроби из одной системы счисления в другую систему счисления дробь следует умножать на основание системы счисления, в которую выполняется перевод. Полученная после первого умножения целая часть является старшим разрядом результирующего числа. Умножение вести до тех пор пока произведение станет равным нулю или не будет получено требуемое число знаков после разделительной точки.

     0.243(10) --->  0.0011111(2).
     Проверка: 0.0011111 = 0*2^(-1) + 0*2^(-2)+1*2^(-3) +
     1*2^(-4)+1*2^(-5) + +1*2^(-6)+1*2*(-7) = 0,2421875
  

     164(10) ---> 10100100(2)
     Проверка: 10100100 = 1*2^7 + 0*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 +
     0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 128+32+4=164
  

При переводе смешанных чисел целая и дробная части числа переводятся отдельно.

1.4. Классификация структур данных

Теперь можно дать более конкретное определение данного на машинном уровне представления информации.

Независимо от содержания и сложности любые данные в памяти ЭВМ представляются последовательностью двоичных разрядов, или битов, а их значениями являются соответствующие двоичные числа. Данные, рассматриваемые в виде последовательности битов, имеют очень простую организацию или, другими словами, слабо структурированы. Для человека описывать и исследовать сколько-нибудь сложные данные в терминах последовательностей битов весьма неудобно. Более крупные и содержательные, нежели бит, "строительные блоки" для организации произвольных данных получаются на основе понятия "структуры данного".

Под СТРУКТУРОЙ ДАННЫХ в общем случае понимают множество элементов данных и множество связей между ними. Такое определение охватывает все возможные подходы к структуризации данных, но в каждой конкретной задаче используются те или иные его аспекты. Поэтому вводится дополнительная классификация структур данных, направления которой соответствуют различным аспектам их рассмотрения. Прежде чем приступать к изучению конкретных структур данных, дадим их общую классификацию по нескольким признакам.

Понятие "ФИЗИЧЕСКАЯ структура данных" отражает способ физического представления данных в памяти машины и называется еще структурой хранения, внутренней структурой или структурой памяти.

Рассмотрение структуры данных без учета ее представления в машинной памяти называется абстрактной или ЛОГИЧЕСКОЙ структурой. В общем случае между логической и соответствующей ей физической структурами существует различие, степень которого зависит от самой структуры и особенностей той среды, в которой она должна быть отражена. Вследствие этого различия существуют процедуры, осуществляющие отображение логической структуры в физическую и, наоборот, физической структуры в логическую. Эти процедуры обеспечивают, кроме того, доступ к физическим структурам и выполнение над ними различных операций, причем каждая операция рассматривается применительно к логической или физической структуре данных.

Различаются ПРОСТЫЕ (базовые, примитивные) структуры (типы) данных и ИНТЕГРИРОВАННЫЕ (структурированные, композитные, сложные). Простыми называются такие структуры данных, которые не могут быть расчленены на составные части, большие, чем биты. С точки зрения физической структуры важным является то обстоятельство, что в данной машинной архитектуре, в данной системе программирования мы всегда можем заранее сказать, каков будет размер данного простого типа и какова структура его размещения в памяти. С логической точки зрения простые данные являются неделимыми единицами. Интегрированными называются такие структуры данных, составными частями которых являются другие структуры данных - простые или в свою очередь интегрированные. Интегрированные структуры данных конструируются программистом с использованием средств интеграции данных, предоставляемых языками программирования.

В зависимости от отсутствия или наличия явно заданных связей между элементами данных следует различать НЕСВЯЗНЫЕ структуры (векторы, массивы, строки, стеки, очереди) и СВЯЗНЫЕ структуры (связные списки).

Весьма важный признак структуры данных - ее изменчивость - изменение числа элементов и (или) связей между элементами структуры. В определении изменчивости структуры не отражен факт изменения значений элементов данных, поскольку в этом случае все структуры данных имели бы свойство изменчивости. По признаку изменчивости различают структуры СТАТИЧЕСКИЕ, ПОЛУСТАТИЧЕСКИЕ, ДИНАМИЧЕСКИЕ. Классификация структур данных по признаку изменчивости приведена на рис. 1.1. Базовые структуры данных, статические, полустатические и динамические характерны для оперативной памяти и часто называются оперативными структурами. Файловые структуры соответствуют структурам данных для внешней памяти.

Рис. 1.1. Классификация структур данных

Важный признак структуры данных - характер упорядоченности ее элементов. По этому признаку структуры можно делить на ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ структуры.

В зависимости от характера взаимного расположения элементов в памяти линейные структуры можно разделить на структуры с ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ распределением элементов в памяти (векторы, строки, массивы, стеки, очереди) и структуры с ПРОИЗВОЛЬНЫМ СВЯЗНЫМ распределением элементов в памяти ( односвязные, двусвязные списки). Пример нелинейных структур - многосвязные списки, деревья, графы.

В языках программирования понятие "структуры данных" тесно связано с понятием "типы данных". Любые данные, т.е. константы, переменные, значения функций или выражения, характеризуются своими типами.

Информация по каждому типу однозначно определяет :

• 1) структуру хранения данных указанного типа, т.е. выделение памяти и представление данных в ней, с одной стороны, и интерпретирование двоичного представления, с другой;
• 2) множество допустимых значений, которые может иметь тот или иной объект описываемого типа;
• 3) множество допустимых операций, которые применимы к объекту описываемого типа.

В последующих главах данного пособия рассматриваются структуры данных и соответствующие им типы данных. При описании базовых (простых) типов и при конструировании сложных типов мы ориентировались в основном на язык PASCAL. Этот язык использовался и во всех иллюстративных примерах. PASCAL был создан Н.Виртом специально для иллюстрирования структур данных и алгоритмов и традиционно используется для этих целей. Читатель знакомый с любым другим процедурным языком программирования общего назначения (C, FORTRAN, ALGOL, PL/1 и т.д.), без труда найдет аналогичные средства в известном ему языке.

1.5. Операции над структурами данных

Над любыми структурами данных могут выполняться четыре общие операции: создание, уничтожение, выбор (доступ), обновление.

Операция создания заключается в выделении памяти для структуры данных. Память может выделяться в процессе выполнения программы или на этапе компиляции. В ряде языков (например, в С) для структурированных данных, конструируемых программистом, операция создания включает в себя также установку начальных значений параметров, создаваемой структуры.

Например, в PL/1 оператор DECLARE N FIXED DECIMAL приведет к выделению адресного пространства для переменной N. В FORTRAN ( Integer I ), в PASCAL ( I:integer ), в C ( int I ) в результате описания типа будет выделена память для соответствующих переменных. Для структур данных, объявленных в программе, память выделяется автоматически средствами систем программирования либо на этапе компиляции, либо при активизации процедурного блока, в котором объявляются соответствующие переменные. Программист может и сам выделять память для структур данных, используя имеющиеся в системе программирования процедуры/функции выделения/освобождения памяти. В объектно-ориентированных языках программирования при разработке нового объекта для него должны быть определены процедуры создания и уничтожения.

Главное заключается в том, что независимо от используемого языка программирования, имеющиеся в программе структуры данных не появляются "из ничего", а явно или неявно объявляются операторами создания структур. В результате этого всем экземплярам структур в программе выделяется память для их размещения.

Операция уничтожения структур данных противоположна по своему действию операции создания. Некоторые языки, такие как BASIC, FORTRAN не дают возможности программисту уничтожать созданные структуры данных. В языках PL/1, C, PASCAL структуры данных, имеющиеся внутри блока, уничтожаются в процессе выполнения программы при выходе из этого блока. Операция уничтожения помогает эффективно использовать память.

Операция выбора используется программистами для доступа к данным внутри самой структуры. Форма операции доступа зависит от типа структуры данных, к которой осуществляется обращение. Метод доступа - один из наиболее важных свойств структур, особенно в связи с тем, что это свойство имеет непосредственное отношение к выбору конкретной структуры данных.

Операция обновления позволяет изменить значения данных в структуре данных. Примером операции обновления является операция присваивания, или, более сложная форма - передача параметров.

Вышеуказанные четыре операции обязательны для всех структур и типов данных. Помимо этих общих операций для каждой структуры данных могут быть определены операции специфические, работающие только с данными данного типа (данной структуры). Специфические операции рассматриваются при рассмотрении каждой конкретной структуры данных.

1.6. Структурность данных и технология программирования

Большинство авторов публикаций, посвященных структурам и организации данных, делают основной акцент на том, что знание структуры данных позволяет организовать их хранение и обработку максимально эффективным образом - с точки зрения минимизации затрат как памяти, так и процессорного времени. Другим не менее, а может быть, и более важным преимуществом, которое обеспечивается структурным подходом к данным, является возможность структурирования сложного программного изделия. Современные промышлено выпускаемые программные пакеты - изделия чрезвычайно сложные, объем которых исчисляется тысячами и миллионами строк кода, а трудоемкость разработки - сотнями человеко-лет. Естественно, что разработать такое программное изделие "все сразу" невозможно, оно должно быть представлено в виде какой-то структуры - составных частей и связей между ними. Правильное структурирование изделия дает возможность на каждом этапе разработки сосредоточить внимание разработчика на одной обозримой части изделия или поручить реализацию разных его частей разным исполнителям.

При структурировании больших программных изделий возможно применение подхода, основанного на структуризации алгоритмов и известного, как "нисходящее" проектирование или "программирование сверху вниз", или подхода, основанного на структуризации данных и известного, как "восходящее" проектирование или "программирование снизу вверх".

В первом случае структурируют прежде всего действия, которые должна выполнять программа. Большую и сложную задачу, стоящую перед проектируемым программным изделием, представляют в виде нескольких подзадач меньшего объема. Таким образом, модуль самого верхнего уровня, отвечающий за решение всей задачи в целом, получается достаточно простым и обеспечивает только последовательность обращений к модулям, реализующим подзадачи. На первом этапе проектирования модули подзадач выполняются в виде "заглушек". Затем каждая подзадача в свою очередь подвергается декомпозиции по тем же правилам. Процесс дробления на подзадачи продолжается до тех пор, пока на очередном уровне декомпозиции получают подзадачу, реализация которой будет вполне обозримой. В предельном случае декомпозиция может быть доведена до того, что подзадачи самого нижнего уровня могут быть решены элементарными инструментальными средствами (например, одним оператором выбранного языка программирования).

Другой подход к структуризации основывается на данных. Программисту, который хочет, чтобы его программа имела реальное применение в некоторой прикладной области не следует забывать о том, что программирование - это обработка данных. В программах можно изобретать сколь угодно замысловатые и изощренные алгоритмы, но у реального программного изделия всегда есть Заказчик. У Заказчика есть входные данные, и он хочет, чтобы по ним были получены выходные данные, а какими средствами это обеспечивается - его не интересует. Таким образом, задачей любого программного изделия является преобразование входных данных в выходные. Инструментальные средства программирования предоставляют набор базовых (простых, примитивных) типов данных и операции над ними. Интегрируя базовые типы, программист создает более сложные типы данных и определяет новые операции над сложными типами. Можно здесь провести аналогию со строительными работами: базовые типы - "кирпичики", из которых создаются сложные типы - "строительные блоки". Полученные на первом шаге композиции "строительные блоки" используются в качестве базового набора для следующего шага, результатом которого будут еще более сложные конструкции данных и еще более мощные операции над ними и т.д. В идеале последний шаг композиции дает типы данных, соответствующие входным и выходным данным задачи, а операции над этими типами реализуют в полном объеме задачу проекта.

Программисты, поверхностно понимающие структурное программирование, часто противопоставляют нисходящее проектирование восходящему, придерживаясь одного выбранного ими подхода. Реализация любого реального проекта всегда ведется встречными путями, причем, с постоянной коррекцией структур алгоритмов по результатам разработки структур данных и наоборот.

Еще одним чрезвычайно продуктивным технологическим приемом, связанным со структуризацией данных является инкапсуляция. Смысл ее состоит в том, что сконструированный новый тип данных - "строительный блок" - оформляется таким образом, что его внутренняя структура становится недоступной для программиста - пользователя этого типа. Программист, использующий этот тип данных в своей программе (в модуле более высокого уровня), может оперировать с данными этого типа только через вызовы процедур, определенных для этого типа. Новый тип данных представляется для него в виде "черного ящика" для которого известны входы и выходы, но содержимое - неизвестно и недоступно.

Инкапсуляция чрезвычайно полезна и как средство преодоления сложности, и как средство защиты от ошибок. Первая цель достигается за счет того, что сложность внутренней структуры нового типа данных и алгоритмов выполнения операций над ним исключается из поля зрения программиста-пользователя. Вторая цель достигается тем, что возможности доступа пользователя ограничиваются лишь заведомо корректными входными точками, следовательно, снижается и вероятность ошибок.

Современные языки программирования блочного типа (PASCAL, C) обладают достаточно развитыми возможностями построения программ с модульной структурой и управления доступом модулей к данным и процедурам. Расширения же языков дополнительными возможностями конструирования типов и их инкапсуляции делает язык объектно-ориентированным. Сконструированные и полностью закрытые типы данных представляют собой объекты, а процедуры, работающие с их внутренней структурой - методы работы с объектами. При этом в значительной степени меняется и сама концепция программирования. Программист, оперирующий объектами, указывает в программе ЧТО нужно сделать с объектом, а не КАК это надо делать.

Технология баз данных развивалась параллельно с технологией языков программирования и не всегда согласованно с ней. Отчасти этим, а отчасти и объективными различиями в природе задач, решаемых системами управления базами данных (СУБД) и системами программирования, вызваны некоторые терминологические и понятийные различия в подходе к данным в этих двух сферах. Ключевым понятием в СУБД является понятие модели данных, в основном тождественное понятию логической структуры данных. Отметим, что физическая структура данных в СУБД не рассматривается вообще. Но сами СУБД являются программными пакетами, выполняющими отображение физической структуры в логическую (в модель данных). Для реализации этих пакетов используются те или иные системы программирования, разработчики СУБД, следовательно, имеют дело со структурами данных в терминах систем программирования. Для пользователя же внутренняя структура СУБД и физическая структура данных совершенно прозрачна; он имеет дело только с моделью данных и с другими понятиями логического уровня.